OpenAIの推論モデル、80年来の数学的難問を反証　エルデシュの予想を自律的に解決

平面上に n 個の点を配置したとき、距離がちょうど 1 となる点同士のペアは最大でいくつ作れるか。

1946 年に数学者ポール・エルデシュが提示した「平面単位距離問題」は、離散幾何学で最も有名かつ未解決の難問の一つでした。正方形グリッドのような配置が事実上の最適解であり、多項式オーダーでの改善は不可能だというのが、約 80 年間にわたる数学界の通説でした。

OpenAI は、社内の汎用推論モデルがこの歴史的な予想を自律的に反証したと発表しました。

離散幾何学に代数体論の重厚な道具を持ち込む

従来の予想では、単位距離ペアの数は n の 1+o(1) 乗に収まると考えられていました。

今回モデルは、距離 1 のペア数が n の 1+δ 乗（δ > 0）に達する無限の点配置族を構築しました。モデル自身の証明では具体的な δ の値は示されませんでしたが、プリンストン大学の Will Sawin 教授が直後に証明を洗練させ、δ = 0.014 と取れることを示しました。

専門家を驚かせたのはその証明手法です。幾何学的なアプローチではなく、代数数論における「無限類体塔」や「ゴロド・シャファレビッチの定理」といった高度な理論を駆使して反例を構築しました。

フィールズ賞受賞者のティム・ガワーズ氏は本成果を「AI 数学における金字塔」と評し、数論学者のアルル・シャンカル氏も「モデルが単なる助手を超え、独創的で独創的な着想を実行できることを示した」とコメントしています。

なお、この証明を出力したのは幾何学専用の特化型 AI でも探索用足場を組んだシステムでもなく、通常の汎用推論モデルでした。

なぜ重要か

数学の証明は、途中の論理が一段でも狂えばすべて破綻するため、AI の推論能力を測る最も厳密な試験場と言えます。汎用モデルが長大な推論ステップを破綻させずに完走し、全く別の数学分野の高度な理論を結びつけて未解決問題を解いた意味は極めて大きいです。

研究者にとって、AI はもはや単なる計算機や論文要約ツールではなく、専門家が見落としていた意外な道筋を示す共同研究者の領域に踏み込みました。離散幾何学の難問に代数数論をぶつけるという発想自体、極めて高度な知的能力を示しています。

現時点では、AI が出力した証明の意義を理解し、整理して論文に仕立て直すために一流数学者の手が必要ですが、分野をまたいで深い概念を結びつける能力は、物理学や材料工学、創薬など、理論的ブレイクスルーが求められるあらゆる科学分野に波及していくと考えられます。